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史上最难的过桥问题

2023-11-04 12:36

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七桥问题的由来

18世纪的哥尼斯堡城,有七座桥,当时人们十分热衷于在一次散步中无重复地走遍这七座桥。但是,人们尝试了很多次,却从来没有人办成这件事情。因此呢,大家就觉得很是奇怪,可又猜不透其中的奥妙,便去请教大数学家欧拉。那么,欧拉是如何解决这个问题的?

今天的内容,我们就来聊聊这个“七桥问题”。

为了便于理解,我将这七座桥的位置情况以图片的形式呈现出来(如下图)。

七桥问题的解决

当时,年20岁的欧拉,凭借他深邃的洞察力,从无数次的失败中,得到了这样一个猜想:也许根本不可能不重复地一次走遍这七座桥,而欧拉不愧是大数学家,他很快就证明了自己的这个猜想是正确的,那么他是如何进行证明的呢?接下来,我们就来看看欧拉的思路。

为了证明自己的猜想,欧拉首先考虑“穷举法”,他仔细地把所有可能的走法列成表格,逐一检查,但实在是太困难了。他又想到,如果在同样的问题中,桥更多时,那这种“穷举法”就毫无使用价值了,于是,他放弃了“穷举法”。

在此基础上,欧拉给自己提出了一个非常一般性的问题:给定任意一个河道图与任意多座桥,能不能判断每座桥恰好走一次呢?

为了寻找解决上述问题的方法,欧拉将过桥的实际问题转化成数学问题。

欧拉认为这个问题与岛、岸以及桥的大小、形状都是没有关系的,主要在于它们之间的相互位置关系,所以他把被河隔开的岸看4个点,把7座桥表示7条连接4个点的线,这样就得到由一些点和线构成的“点线图”。于是欧拉就把这个问题转化成了“一笔画问题”,就是笔尖不离开纸面,一笔画出给定的点线图,画的过程中不允许重复任何一条线。因此,要证明他对“七桥问题”的猜想,就转化为证明这个“点线图”能否一笔画成。我将变化后的“点线图”呈现在了文稿中,建议你打开文稿看一看。

欧拉将七桥问题转化后,还注意到,如果一个图能一笔画成,那么一定是由一个起点开始画,也有一个终点,而图上其它的点则是“过路点”,也就是画的时候要经过它。“过路点”还有这样的特征:它应该是“有进有出”的点,也就是说,如果画进去一条线,就一定要画出来一条线。否则的话,有进无出,它就是终点;有出无进,它就是起点。因此,在“过路点”进出的线的总条数就应该是偶数条,而像这样的点,就称为偶点,也就是说如果以某点为端点的线有偶数条,就称此点为偶点;相应地,如果以某点为端点的线有奇数条,就称此点为奇点。而“过路点”就是偶点。根据这些特征,欧拉就有了这样一个判断“一个图形能否一笔画成”的标准:

(1)能一笔画出的图形必须是连通的图形;

(2)只由偶点组成的连通图形,一定可以一笔画出(画时可以由任一偶点为起点,最后仍回到这点)

(3)2个奇点(起点和终点)组成的连通图形,一定可以一笔画出(画时必须以一个奇点为起点,以另一个奇点为终点)

(4)奇点个数超2个的图形,一定不能一笔画出。

根据这个判断标准,可以断定,根本不可能不重复地一次走遍哥尼斯堡的七座桥,因为由这七座桥形成的图形中,4个顶点全部都是奇点。

由此看来,欧拉解决了一个曾经难住了那么多人的问题的同时,还得出了“一笔画”定理,而只要利用这个定理,对于任意这类问题,都能够顺利解决。

其实,欧拉在解决七桥问题的过程中,最为重要的解决策略是将实际问题数学化。通过数学化,可以使问题变得更加简单,更有助于对问题中存在的规律进行总结。因此呢,对于生活中看似复杂的实际问题,我们要像欧拉一样,学会用数学的眼光去重新看待,也许就能将问题化繁为简,从而成功解决。

最后,请你来思考一个问题:下面是国际奥林匹克运动会的会标,能一笔画成吗?如果能,请你把它画出来。如果不能,请说明理由。

欢迎你在评论区留言互动,分享你的看法。

以上就是今天的内容,希望听了以后对你有所启发,我们明天再见!

参考文献:

[1]王敬庚.欧拉是怎样解决七桥问题的[J].数学史话,2005(10).

[2]哥尼斯堡七桥问题与一笔画[J].语数外学习:初中版,2017.

文稿:馨之

讲述:馨之